题目
某类疾病发生率y‰和年龄段x(每五年为一段，例如0-5岁为第一段，6-10岁为第二段)之间有形如y＝a*e^bx的关系。试根据观测得到的如下 数据表，用最小二乘法确定式中的参数a和b，并计算相应的均方误差与最大偏差。
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 0.898 | 2.38 | 3.07 | 1.84 | 2.02 | 1.94 | 2.22 | 2.77 | 4.02 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 4.76 | 5.46 | 6.53 | 10.9 | 16.5 | 22.5 | 35.7 | 50.6 | 61.6 | 81.8 |
代码实现
方法一：将非线性方程变换成线性方程，对y＝a*e^bx两边同时求导，得到lny=lna+bx，再代入方程求解。
function [ ] = minmulti( ~ )
%UNTITLED 此处显示有关此函数的摘要
% 此处显示详细说明
x = 1:19;
y = [0.898, 2.38, 3.07, 1.84, 2.02, 1.94, 2.22, 2.77, 4.02, 4.76, 5.46, 6.53, 10.9, 16.5, 22.5, 35.7, 50.6, 61.6, 81.8];
n = length(y);
z = log(y);
a = zeros(2,2);
b = 0;
c = 0;
e = 0;
f = 0;
d = zeros(2,1);
for i = 1:n
c = c + x(i);
b = b + x(i)^2;
e = e + z(i);
f = f + z(i)*x(i);
end
a(1,1) = n;
a(1,2) = c;
a(2,1) = c;
a(2,2) = b;
d(1,1) = e;
d(2,1) = f;
g = a\d
r = exp(g(1,1)) %%a
u = g(2,1) %%即为b
q = r*exp(u*x);
m = q-y;
l = abs(m);
k1 = 0;
for i =1:n
k1 = k1 + m(i)^2;
end
h = max(l)^2 %%最大偏差
k1 = k1/n %%均方差
end
方法二：按照最小二乘法的原始定义，用牛顿法解非线性方程组。
function [ ] = minmul( ~ )
%UNTITLED 此处显示有关此函数的摘要
% 此处显示详细说明
x = 1:19;
y = [0.898, 2.38, 3.07, 1.84, 2.02, 1.94, 2.22, 2.77, 4.02, 4.76, 5.46, 6.53, 10.9, 16.5, 22.5, 35.7, 50.6, 61.6, 81.8];
n = length(y);
f = 0;
f1 = 0;
f2 = 0;
g = 0;
g1 = 0;
g2 = 0;
a = 0.68; %%迭代初值
b = 0.23; %%迭代初值
k1 = 0;
z = zeros(1,10);
p = z;
k = z;
h =z;
for j = 1:10
f = 0;
f1 = 0;
f2 = 0;
g = 0;
g1 = 0;
g2 = 0;
for i =1:n
f = f+2*(a*exp(i*b) - y(i))*exp(b*i);
f1 = f1+2*exp(2*i*b);
f2 = f2+4*i*a*exp(2*i*b)-2*i*y(i)*exp(b*i);
g = g+2*(a*exp(i*b)-y(i))*i*a*exp(i*b);
g1 = g1+4*i*a*exp(2*i*b)-2*i*y(i)*exp(b*i);
g2 = g2+4*(a*i)^2*exp(2*i*b)-2*(i)^2*a*y(i)*exp(i*b);
end
c = f1*a+f2*b-f;
d = g1*a+g2*b-g;
b = (d-c*(g1/f1))/(g2-f2*(g1/f1));
a = (c-f2*b)/f1;
q = a*exp(b*x);
m = q-y;
for i =1:n
k1 = k1 + m(i)^2;
end
p(j) = a;
z(j) = b;
l = abs(m);
h(j) = max(l);
k(j) = k1/n;
end
p %%a的多次迭代效果
z %%b的多次迭代效果
k %%均方差
h %%最大偏差
end
计算结果
方法一：a=0.6814，b=0.2306，最大偏差745.5493，均方差77.3085
方法二：初值对牛顿法的影响较大，先用方法一的结果作为初值，结果不理想。再用靠近结果的初值迭代，效果较好
a=0.2369，b=0.3090，最大偏差5.3397，均方差3.9428